ALFABETO GRIEGO

VÍDEO DE PRUEBA

CONJUNTO

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS

Rama de las matemáticas a las que el matemático Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor es el padre de la Teoría de Conjuntos, dio su primer tratamiento formal en 1870. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.

En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teoría de conjuntos.

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CONJUNTO 1

DEFINICIONES

Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común.

En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.

La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue Georg Cantor, en los años 1870 quien primero llamó la atención de los matemáticos a este respecto.

No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un término no definido.

Un conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase.

CONJUNTO 2

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Hay dos formas de determinar conjuntos.

 ó Forma Tabular

Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

A = { a, e, i, o, u }

B = { 0, 2, 4, 6, 8 }

C = { c, , , j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.

 ó Forma Constructiva

Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

A = { x/x es una vocal }

B = { x/x es un número par menor que 10 }

C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

Vamos a mostrarte un cuadro comparativo de determinación de conjuntos

A = { a, e, i, o, u }		A = { x/x es una vocal }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }		B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { c, , , j, u, t, s }		C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }
D = { 1, 3, 5, 7, 9 }		D = { x/x es un número impar menor que 10 }
E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . }		E = { x/x es una consonante }

CONJUNTO 3

DIAGRAMA DE VENN

A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.

A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple).

El gráfico es la representación de la unión

El gráfico es la representación de la intersección

El gráfico es la representación de la diferencia

CONJUNTO 4

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llamacomplemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:

A' = { x/x  U y x  A }

a)	Sean U = { m, a, r, t, e }		y		A = { t, e }
	Su complemento de A es:				A' = { m, a, r }

	En forma gráfica:

b)	Sean U = { letras de la palabra aritmética}		y		B = { vocales de la palabra vida }
	Determinado por extensión tenemos
	U = { a, r, i, t, m, e, c }				B = { i, a }
	Su complemento de B es:				B' = { r, t, m, e, c }

	En forma gráfica:

CONJUNTO 5

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.

La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:

A - B = {x / x  A y x  B}

Mediante un diagrama de Venn - Euler:

Cuando no tienen		Cuando tienen		Cuando todos los elementos de un
elementos comunes		elementos comunes		conjunto pertenecen a otro conjunto

1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a)

A - C

b)

B - C

c)

A - B

Tenemos:

a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }

				A - C = { a, b, c, e }
				Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C

b) B = { a, e } y C = { d, f, g }

				B - C = { a, e }
				Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C

c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }

				A - B = { b, c, d }
				Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B

CONJUNTO 6

INTERSECCIÓN DE CONJUNTO

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A  B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:

A  B = { x / x  A y x  B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:

Cuando tienen				Cuando no tienen				Cuando todos los elementos de un
elementos comunes				elementos comunes				conjunto pertenecen a otro conjunto

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a)

A  C

b)

B  C

c)

A  B

Tenemos:

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }

				A  C = { ,  }
				Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C

b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }

				B  C = { }
				Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }

				A  B = { ,  }
				Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B